[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1
Funkcjewektorowe
•
Funkcjawektorowajednejzmiennej
Niech
I
R
b¦dziedowolnymprzedziałem.Funkcj¦
~r
:
I!
R
3
(
R
2
)
nazywamy
funkcj¡wektorow¡jednejzmiennej
.
Funkcj¦tak¡b¦dziemyzapisywaliwpostaci:
~r
(
t
)=[
x
(
t
)
,y
(
t
)
,z
(
t
)]
lub
~r
(
t
)=[
x
(
t
)
,y
(
t
)]
dla
t
2I
.
2
x
(
t
)
,y
(
t
)
,z
(
t
)
-funkcjeskalarnezmiennej
t
•
Funkcjawektorowawieluzmiennych
Niech
D
R
3
(
R
2
)
.Funkcj¦
~
F
:
D!
R
3
(
R
2
)
nazywamy
funkcj¡wektorow¡wieluzmiennych
.
Funkcj¦tak¡b¦dziemyzapisywaliwpostaci:
~
F
(
x,y,z
)=[
P
(
x,y,z
)
,Q
(
x,y,z
)
,R
(
x,y,z
)]
lub
~
F
(
x,y
)=[
P
(
x,y
)
,Q
(
x,y
)]
dla
(
x,y,z
)
2D
((
x,y
)
2D
)
.
P,Q,R
-funkcjeskalarneokre±lonewobszarze
D
.
3
PoleskalarneiPolewektorowe
Definicja
Polemskalarnym
,okre±lonymwobszarze
D
R
3
(
R
2
)
,
nazywamyfunkcj¦skalarn¡
f
:
D!
R
.
Przykładypólskalarnych:
•
poleg¦sto±cimasy
•
poletemperatur
•
polepotencjałuelektrostatycznego
Definicja
Powierzchni¦
f
(
x,y,z
)=
C
,gdzie
C
jeststał¡
rzeczywist¡,nazywamy
powierzchni¡ekwiskalarn¡
.
Przykład
Wyznaczy¢powierzchnieekwiskalarnepolaskalarnego:
s
9
+
y
2
x
2
+
y
2
+
z
2
b)
f
(
x,y
)=
x
2
a)
f
(
x,y,z
)=
4
4
Uwaga
Mówimy,»epoleskalarnejestci¡głe(n-krotnieró»niczko-
walne),je»elifunkcja
f
jetfunkcj¡ci¡gł¡(n-krotnieró»niczkowaln¡).
Definicja
Polemwektorowym
,okre±lonymwobszarze
D
R
3
(
R
2
)
,nazywamyfunkcj¦wektorow¡
~
F
:
D!
R
3
(
R
2
)
.
Przykładypólskalarnych:
•
polepr¦dko±cicieczy
•
polegrawitacyjne
•
poleelektrostatycznelubmagnetyczne(stałe)
Uwaga
Mówimy,»epolewektorowejestci¡głe(n-krotnieró»niczko-
walne),je»elifunkcja
~
F
jetfunkcj¡ci¡gł¡(n-krotnieró»niczkowaln¡).
5
Gradientpolaskalarnego
Załó»my,»edanejestpoleskalarne
f
(
x,y,z
)(
f
(
x,y
))
,okre±lone
wobszarze
D
R
3
(
R
2
)
.
Definicja
Gradientempolaskalarnego
f
wpunkcie
A
0
(
x
0
,y
0
,z
0
)
2D
(
A
0
(
x
0
,y
0
)
2D
)
nazywamywektor
2
6
6
6
4
3
7
7
7
5
@f
@x
(
A
0
)
,
@f
@y
(
A
0
)
,
@f
grad
f
(
A
0
)=
@z
(
A
0
)
0
B
B
B
@
grad
f
(
A
0
)=
2
6
6
6
4
3
7
7
7
5
1
C
C
C
A
@f
@x
(
A
0
)
,
@f
@y
(
A
0
)
[ Pobierz całość w formacie PDF ]